Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Рівняння, що не узгоджуються

Лінійна алгебраСкладне

Система $x = 1$ , $y = 2$ , $x + y = 4$ не має точного розв’язку. Знайдіть її розв’язок за методом найменших квадратів, тобто пару $(x, y)$ , що мінімізує суму квадратів різниць між лівими й правими частинами. Чому дорівнює $y$ ? Дайте нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Запишіть систему як матричне рівняння й розв’яжіть нормальні рівняння.

Розв’язок

У матричному вигляді система має $A = 101011$ і праву частину $(1, 2, 4)$ , а метод найменших квадратів розв’язує нормальні рівняння з $A^{T} A$ ліворуч.
Тут $A^{T} A = [2112]$ , а застосування $A^{T}$ до правої частини дає $(1 + 4, 2 + 4) = (5, 6)$ .
Отже, $2 x + y = 5$ і $x + 2 y = 6$ .
Подвоївши друге рівняння й віднявши перше, маємо $3 y = 7$ , тож $y = \frac{7}{3}$ .

Відповідь: $\frac{7}{3}$

Наступна задача Назад до бібліотеки