Матриці A і B оборотні, причому A⁻¹ = [2 1; 1 1] і B⁻¹ = [1 3; 0 1]. Який елемент стоїть у рядку 1, стовпці 2 матриці (AB)⁻¹?

Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Добуток і його обернена

Лінійна алгебраСереднє

Матриці $A$ і $B$ оборотні, причому $A^{- 1} = [2111]$ і $B^{- 1} = [1031]$ . Який елемент стоїть у рядку $1$ , стовпці $2$ матриці $(A B)^{- 1}$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

У добутку $A B$ матриця $B$ діє на вектор першою; подумайте, який множник треба скасувати першим.

Розв’язок

Обернена до добутку йде у зворотному порядку: $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ , бо $A B \times B^{- 1} A^{- 1} = I$ .
Шуканий елемент є добутком рядка $1$ матриці $B^{- 1}$ , тобто $(1, 3)$ , на стовпець $2$ матриці $A^{- 1}$ , тобто $(1, 1)$ .
Їхній скалярний добуток дорівнює $1 \times 1 + 3 \times 1 = 4$ .
Отже, у рядку $1$ , стовпці $2$ матриці $(A B)^{- 1}$ стоїть $4$ .

Відповідь: $4$