Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Сума елементів оберненої

Лінійна алгебраСкладне

Нехай $A$ є матрицею $3 \times 3$ , у якої на діагоналі всюди стоїть $2$ , а решта елементів дорівнюють $1$ . Чому дорівнює сума всіх $9$ елементів матриці $A^{- 1}$ ? Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Подивіться, що $A$ робить із вектором $(1, 1, 1)$ .

Розв’язок

Кожен рядок $A$ дає в сумі $2 + 1 + 1 = 4$ , тож $A u = 4 u$ для $u = (1, 1, 1)$ .
Застосувавши $A^{- 1}$ до обох частин, маємо $A^{- 1} u = \frac{u}{4}$ , тобто кожен рядок $A^{- 1}$ дає в сумі $\frac{1}{4}$ .
Сума всіх елементів є сумою $3$ рядкових сум: $3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

Відповідь: $\frac{3}{4}$

Наступна задача Назад до бібліотеки