Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Спокійні й бурхливі дні

Лінійна алгебраЛегке

Щодня ринок перебуває або в спокійному, або в бурхливому режимі. Після спокійного дня наступний буде бурхливим з імовірністю $\frac{1}{5}$ ; після бурхливого дня наступний буде спокійним з імовірністю $\frac{1}{3}$ . Режим утворює ланцюг Маркова з цими сталими ймовірностями. Яка частка днів у довгостроковій перспективі бурхлива? Дайте нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

У довгостроковій перспективі частка днів, що переходять зі спокою в бурю, має врівноважувати частку зворотних переходів.

Розв’язок

Нехай $π_{v}$ є довгостроковою часткою бурхливих днів, тоді частка спокійних $π_{c} = 1 - π_{v}$ .
Стаціонарний вектор задовольняє рівновагу $π_{c} \times \frac{1}{5} = π_{v} \times \frac{1}{3}$ .
Отже, $\frac{1 - π _{v}}{5} = \frac{π _{v}}{3}$ , звідки $3 - 3 π_{v} = 5 π_{v}$ .
Тому $8 π_{v} = 3$ і $π_{v} = \frac{3}{8}$ .

Відповідь: $\frac{3}{8}$

Наступна задача Назад до бібліотеки