Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Коротке блукання

Лінійна алгебраЛегке

Частинка на станах $1$ , $2$ і $3$ робить один крок за раз згідно з матрицею переходів $P = \frac{1}{2} \frac{1}{4} 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 \frac{1}{4} \frac{1}{2}$ (рядки розділено крапкою з комою), де елемент у рядку $i$ , стовпці $j$ є ймовірністю переходу зі стану $i$ у стан $j$ . Почавши зі стану $1$ , з якою ймовірністю частинка опиниться в стані $3$ рівно через $2$ кроки? Дайте нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Потрібен елемент у рядку $1$ , стовпці $3$ матриці $P^{2}$ ; перелічіть маршрути, що дають у нього внесок.

Розв’язок

Елемент у рядку $1$ , стовпці $3$ матриці $P^{2}$ є сумою за всіма проміжними станами $k$ добутків елементів $(1, k)$ і $(k, 3)$ матриці $P$ .
Зі стану $1$ частинка може лише лишитися в $1$ або перейти в $2$ , тож дістатися $3$ за один крок не може.
Тож єдиний маршрут $1 \to 2 \to 3$ має ймовірність $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ .

Відповідь: $\frac{1}{8}$

Наступна задача Назад до бібліотеки