Нехай A = [2 1; 1 2] (рядки розділено крапкою з комою). Обчисліть лівий верхній елемент A⁵, тобто елемент у рядку 1, стовпці 1.

Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Степінь симетричної матриці

Лінійна алгебраСереднє

Нехай $A = [2112]$ (рядки розділено крапкою з комою). Обчисліть лівий верхній елемент $A^{5}$ , тобто елемент у рядку $1$ , стовпці $1$ .

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Розкладіть вектор $(1, 0)$ за власними векторами $A$ , які легко вгадати.

Розв’язок

Оскільки $A (1, 1) = 3 (1, 1)$ і $A (1, - 1) = (1, - 1)$ , власні значення дорівнюють $3$ і $1$ .
Запишемо $(1, 0) = \frac{1}{2} \times (1, 1) + \frac{1}{2} \times (1, - 1)$ ; тоді $A^{5} (1, 0) = \frac{1}{2} \times 3^{5} \times (1, 1) + \frac{1}{2} \times (1, - 1)$ .
Перша координата $A^{5} (1, 0)$ і є елементом у рядку $1$ , стовпці $1$ матриці $A^{5}$ .
Вона дорівнює $\frac{243 + 1}{2} = 122$ .

Відповідь: $122$