Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Рівні лояльності

Лінійна алгебраСереднє

Щомісяця клієнт перебуває на рівні $1$ , $2$ або $3$ і переходить згідно з матрицею переходів $P = 0, 6 0, 2 0 0, 4 0, 5 0, 4 0 0, 3 0, 6$ (рядки розділено крапкою з комою), де елемент у рядку $i$ , стовпці $j$ є ймовірністю переходу з рівня $i$ на рівень $j$ . Яку частку місяців у довгостроковій перспективі клієнт проводить на рівні $2$ ? Дайте нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Ланцюг переходить лише між сусідніми рівнями, тож у довгостроковій перспективі потоки через кожну межу врівноважуються.

Розв’язок

Стаціонарний вектор $π = (π_{1}, π_{2}, π_{3})$ розв’язує $π P = π$ , а для ланцюга на прямій це зводиться до рівноваги через кожну межу.
Між рівнями $1$ і $2$ : $0, 4 π_{1} = 0, 2 π_{2}$ , тож $π_{2} = 2 π_{1}$ .
Між рівнями $2$ і $3$ : $0, 3 π_{2} = 0, 4 π_{3}$ , тож $π_{3} = 0, 75 π_{2} = 1, 5 π_{1}$ .
Частки дають у сумі $1$ , тож $π_{1} \times (1 + 2 + 1, 5) = 1$ , звідки $π_{1} = \frac{2}{9}$ і $π_{2} = \frac{4}{9}$ .

Відповідь: $\frac{4}{9}$

Наступна задача Назад до бібліотеки