Нехай N = [0 1 2; 0 0 3; 0 0 0], а I є одиничною матрицею 3 × 3. Який правий верхній елемент (I + N)⁵, тобто елемент у рядку 1, стовпці 3?

Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Степінь, що обривається

Лінійна алгебраСереднє

Нехай $N = 000100230$ , а $I$ є одиничною матрицею $3 \times 3$ . Який правий верхній елемент $(I + N)^{5}$ , тобто елемент у рядку $1$ , стовпці $3$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Спершу обчисліть кілька степенів $N$ і подивіться, як швидко вони зникають.

Розв’язок

Оскільки $N$ строго верхньотрикутна, $N^{2} = 000000300$ і $N^{3} = 0$ .
Матриці $I$ і $N$ комутують, тож біном Ньютона застосовний і рано обривається: $(I + N)^{5} = I + 5 N + 10 N^{2}$ .
Елемент у рядку $1$ , стовпці $3$ дорівнює $0 + 5 \times 2 + 10 \times 3 = 40$ .

Відповідь: $40$

Наступна задача Назад до бібліотеки