Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Час роботи машини

Лінійна алгебраСкладне

Машину перевіряють щогодини, і вона або працює (стан $1$ ), або стоїть (стан $2$ ). Її стан утворює ланцюг Маркова з матрицею переходів $P = [\frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{1}{2}]$ (рядки розділено крапкою з комою), де елемент у рядку $i$ , стовпці $j$ є ймовірністю переходу зі стану $i$ у стан $j$ . Зараз машина працює. Яка ймовірність, що на перевірці через $3$ години вона працюватиме? Дайте нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Скористайтеся власними значеннями $P$ : відповідь є довгостроковою часткою плюс поправкою, що спадає геометрично.

Розв’язок

Власні значення $P$ дорівнюють $1$ і $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4}$ , бо їхня сума є слідом.
Стаціонарний вектор розв’язує $π_{1} \times \frac{1}{4} = π_{2} \times \frac{1}{2}$ , тож $π = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ .
Отже, лівий верхній елемент $P^{n}$ дорівнює $\frac{2}{3} + c \times (\frac{1}{4})^{n}$ зі сталою $c$ , а оскільки він дорівнює $1$ при $n = 0$ , маємо $c = \frac{1}{3}$ .
Для $n = 3$ маємо $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{64} = \frac{129}{192} = \frac{43}{64}$ .

Відповідь: $\frac{43}{64}$

Наступна задача Назад до бібліотеки