Обчисліть суму 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + … + 1/(9×10). Запишіть її нескоротним дробом.

Навчання / Бібліотека / Усний рахунок

Дроби, що згортаються

Усний рахунокСкладне

Обчисліть суму $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10}$ . Запишіть її нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Подайте кожен доданок як різницю $2$ простих дробів.

Розв’язок

Кожен доданок розкладається: $\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ .
Сума стає $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$ .
Усі середні доданки скорочуються, залишається $1 - \frac{1}{10}$ .
Отже, сума дорівнює $\frac{9}{10}$ .

Відповідь: $\frac{9}{10}$