Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Середнє більшого кубика

ЙмовірністьСереднє

Кидають $2$ чесні $6$ -гранні кубики незалежно. Яке математичне сподівання більшого з $2$ результатів? Дайте точний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Спершу знайдіть ймовірність того, що максимум не більший за $k$ , а потім ймовірність того, що він дорівнює $k$ .

Розв’язок

Максимум не перевищує $k$ з ймовірністю $\frac{k ^{2}}{36}$ .
Тому $P (max = k) = \frac{k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2}}{36} = \frac{2 k - 1}{36}$ .
Математичне сподівання дорівнює $\sum \frac{k ( 2 k - 1 )}{36}$ за $k = 1..6$ .
Маємо $\sum k (2 k - 1) = 2 \times 91 - 21 = 161$ , бо $\sum k^{2} = 91$ і $\sum k = 21$ .
Отже, математичне сподівання дорівнює $\frac{161}{36}$ .

Відповідь: $\frac{161}{36}$