Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Кидання понад поріг

ЙмовірністьСкладне

Чесний $6$ -гранний кубик кидають багаторазово й незалежно, а результати додають. Ви зупиняєтеся, щойно поточна сума стає не меншою за $7$ . Яке математичне сподівання кількості кидків? Дайте точний нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Нехай $f (j)$ — сподівана кількість кидків, коли сума дорівнює $6 - j$ ; знайдіть зв’язок між $f (j)$ і $f (j - 1)$ .

Розв’язок

Нехай $f (j)$ — сподівана кількість подальших кидків, коли сума дорівнює $6 - j$ . При сумі $6$ будь-який кидок завершує гру, тож $f (0) = 1$ .
Із суми $6 - j$ кидок $i$ веде до суми $6 - j + i$ . Гра закінчується, якщо $i \geq j$ , інакше стан стає $j - i$ . Тож $f (j) = 1 + (\frac{1}{6}) \sum f (i)$ за $i = 0.. j - 1$ .
Віднявши таке саме співвідношення для $j - 1$ , отримуємо $f (j) - f (j - 1) = \frac{f ( j - 1 )}{6}$ , тобто $f (j) = (\frac{7}{6}) f (j - 1)$ .
Отже, $f (j) = (\frac{7}{6})^{j}$ , а починаємо із суми $0$ , що відповідає $j = 6$ .
Математичне сподівання кількості кидків дорівнює $(\frac{7}{6})^{6} = \frac{117649}{46656}$ .

Відповідь: $\frac{117649}{46656}$

Наступна задача Назад до бібліотеки