Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Залишити чи перекинути

ЙмовірністьСкладне

Ви кидаєте чесний $6$ -гранний кубик і отримуєте виплату, що дорівнює випалому числу. Побачивши будь-який результат, ви можете відхилити його й кинути знову, але загалом дозволено щонайбільше $3$ кидки, а останній кидок, якщо до нього дійшло, треба залишити. Яке математичне сподівання виплати при оптимальній грі, що максимізує виплату? Дайте точний нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Рухайтеся від кінця: цінність продовження — це цінність гри з однією спробою менше.

Розв’язок

Якщо лишився $1$ кидок, сподівана виплата дорівнює $V 1 = \frac{7}{2}$ .
Якщо лишилося $2$ кидки, результат варто залишати лише тоді, коли він більший за $\frac{7}{2}$ , тобто $4$ , $5$ або $6$ . Тож $V 2 = \frac{4 + 5 + 6 + 3 \times \frac{7}{2}}{6} = \frac{17}{4}$ .
Якщо лишилося $3$ кидки, результат варто залишати лише тоді, коли він більший за $\frac{17}{4}$ , тобто $5$ або $6$ . Результати від $1$ до $4$ перекидаємо.
Тож $V 3 = \frac{5 + 6 + 4 \times \frac{17}{4}}{6} = \frac{28}{6}$ .
Це скорочується до $\frac{14}{3}$ .

Відповідь: $\frac{14}{3}$

Наступна задача Назад до бібліотеки