Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Перегони монетних послідовностей

ЙмовірністьСкладне

Справедливу монету підкидають незалежно знову і знову. У ряду результатів стежать за послідовностями $HTH$ та $HHT$ ( $H$ — орел, $T$ — решка), перекриття з попередніми підкиданнями враховуються. Яка ймовірність того, що $HTH$ з’явиться раніше за $HHT$ ? Дайте дріб у нескоротному вигляді.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Скористайтеся станами, що описують корисний кінець ряду: порожній, $H$ , $H T$ . Зауважте, що після $H H$ послідовність $HHT$ напевно настане першою.

Розв’язок

Нехай $s$ — ймовірність того, що $HTH$ буде першою, з початкового стану, $h$ — зі стану $H$ , $t$ — зі стану $H T$ .
Зі стану $H H$ обов’язково виграє $HHT$ , бо нові орли залишають нас у $H H$ , доки не випаде решка; тому зі стану $H$ орел дає $0$ , а решка веде до $H T$ : $h = (\frac{1}{2}) \cdot 0 + (\frac{1}{2}) \cdot t$ .
Зі стану $H T$ орел завершує $HTH$ , а решка повертає на початок: $t = \frac{1}{2} + \frac{s}{2}$ .
З початкового стану решка залишає нас на початку, а орел веде до $H$ : $s = \frac{s}{2} + \frac{h}{2}$ .
Підстановка дає $h = \frac{1}{4} + \frac{s}{4}$ , тож $s = \frac{s}{2} + \frac{1}{8} + \frac{s}{8}$ , звідки $\frac{3 s}{8} = \frac{1}{8}$ .
Отже, ймовірність дорівнює $\frac{1}{3}$ .

Відповідь: $\frac{1}{3}$

Наступна задача Назад до бібліотеки