Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Очікування довгої серії

ЙмовірністьСкладне

Чесну монету підкидають із незалежними підкиданнями. Яке математичне сподівання кількості підкидань, доки вперше не з’являться $3$ орли підряд?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Задайте стани за поточною довжиною серії орлів і складіть лінійні рівняння для сподіваної кількості підкидань, що залишилися.

Розв’язок

Нехай $E 0$ , $E 1$ , $E 2$ — сподівана кількість додаткових підкидань, коли поточна серія орлів має довжину $0$ , $1$ , $2$ .
Умовлюючись на наступному підкиданні, отримуємо $E 2 = 1 + E 0 \div 2$ , $E 1 = 1 + E 2 \div 2 + E 0 \div 2$ та $E 0 = 1 + E 1 \div 2 + E 0 \div 2$ .
Останнє рівняння спрощується до $E 0 = 2 + E 1$ .
Підставивши перше рівняння в друге, маємо $E 1 = \frac{3}{2} + 3 \times E 0 \div 4$ , а разом з $E 0 = 2 + E 1$ це дає $E 1 = 12$ .
Отже, $E 0 = 14$ .

Відповідь: $14$