Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Очікування першої червоної

ЙмовірністьСкладне

В урні лежать $6$ червоних і $4$ сині кульки. Ви виймаєте кульки по одній навмання без повернення і зупиняєтесь, щойно з’явиться червона кулька. Яке математичне сподівання кількості витягувань, враховуючи останнє витягування червоної? Дайте нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Скористайтеся лінійністю: для кожної синьої кульки знайдіть ймовірність, що вона йде раніше за всі червоні.

Розв’язок

Кількість витягувань дорівнює $1$ плюс кількість синіх кульок, вийнятих до першої червоної.
Розгляньмо одну задану синю кульку разом із $6$ червоними: усі $7$ порядків їхнього взаємного розташування рівноймовірні.
Тому ця синя кулька йде раніше за всі червоні з ймовірністю $\frac{1}{7}$ .
За лінійністю математичне сподівання кількості синіх до першої червоної дорівнює $4 \times \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$ .
Математичне сподівання кількості витягувань дорівнює $1 + \frac{4}{7}$ , тобто $\frac{11}{7}$ .

Відповідь: $\frac{11}{7}$

Наступна задача Назад до бібліотеки