Фішка стоїть у позиції 1 серед позицій 0, 1, 2, 3. Кожен хід переносить її вгору на 1 з імовірністю 2/3 і вниз на 1 з імовірністю 1/3, незалежно від інших ходів. Позиції 0 і 3 поглинають фішку. Яка ймовірність того, що фішку буде поглинуто в позиції 3?

Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Зсунуте блукання на $4$ точках

ЙмовірністьСереднє

Фішка стоїть у позиції $1$ серед позицій $0$ , $1$ , $2$ , $3$ . Кожен хід переносить її вгору на $1$ з імовірністю $\frac{2}{3}$ і вниз на $1$ з імовірністю $\frac{1}{3}$ , незалежно від інших ходів. Позиції $0$ і $3$ поглинають фішку. Яка ймовірність того, що фішку буде поглинуто в позиції $3$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Запишіть для кожної внутрішньої позиції рівняння для ймовірності завершити нагорі, а потім розв’яжіть пару рівнянь.

Розв’язок

Нехай $h (k)$ — ймовірність поглинання в $3$ із позиції $k$ , причому $h (0) = 0$ і $h (3) = 1$ .
З позиції $1$ : $h (1) = (\frac{2}{3}) \times h (2)$ .
З позиції $2$ : $h (2) = \frac{2}{3} + (\frac{1}{3}) \times h (1)$ .
Підстановка дає $h (1) = \frac{4}{9} + (\frac{2}{9}) \times h (1)$ , тож $(\frac{7}{9}) \times h (1) = \frac{4}{9}$ .
Отже, ймовірність дорівнює $\frac{4}{7}$ .

Відповідь: $\frac{4}{7}$

Наступна задача Назад до бібліотеки