Чесний мандрівник стартує з позиції 2 серед позицій 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Кожен крок іде вгору на 1 або вниз на 1 з імовірністю 1/2, незалежно від інших кроків. Позиції 0 і 7 поглинають мандрівника. Яке математичне сподівання кількості кроків до поглинання?

Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Середня тривалість гри на розорення

ЙмовірністьСереднє

Чесний мандрівник стартує з позиції $2$ серед позицій $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ . Кожен крок іде вгору на $1$ або вниз на $1$ з імовірністю $\frac{1}{2}$ , незалежно від інших кроків. Позиції $0$ і $7$ поглинають мандрівника. Яке математичне сподівання кількості кроків до поглинання?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Нехай D(k) — сподівана тривалість із позиції k; вона задовольняє рівняння другої різниці з нульовими значеннями на обох кінцях.

Розв’язок

Нехай $D (k)$ — сподівана кількість кроків із позиції $k$ , причому $D (0) = 0$ і $D (7) = 0$ .
Для внутрішніх позицій $D (k) = 1 + \frac{D ( k - 1 ) + D ( k + 1 )}{2}$ .
Розв’язок, що дорівнює нулю на обох кінцях, має вигляд $D (k) = k \times (7 - k)$ .
При $k = 2$ отримуємо $2 \times 5$ .
Отже, математичне сподівання кількості кроків дорівнює $10$ .

Відповідь: $10$

Наступна задача Назад до бібліотеки