Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Блукання сіткою до центру

ЙмовірністьСкладне

Фішка стартує з кутової клітинки сітки $3 \times 3$ . На кожному кроці вона переходить в одну з клітинок, що має спільну сторону з поточною, обравши її рівноймовірно і незалежно від минулого. Яке математичне сподівання кількості кроків, поки фішка вперше потрапить у центральну клітинку?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Згрупуйте клітинки за типом: кутова, бокова, центральна. Запишіть рівняння для сподіваного часу з кутової та з бокової клітинки.

Розв’язок

Нехай $C$ — сподіваний час із кутової клітинки, а $E$ — із бокової.
Кутова клітинка має $2$ сусідів, обидва бокові, тому $C = 1 + E$ .
Бокова клітинка має $3$ сусідів: центр і $2$ кутові, тому $E = 1 + (\frac{2}{3}) \times C$ .
Підстановка дає $E = 1 + (\frac{2}{3}) \times (1 + E)$ , звідки $\frac{E}{3} = \frac{5}{3}$ і $E = 5$ .
Тоді $C = 1 + 5$ , тобто $6$ .

Відповідь: $6$

Наступна задача Назад до бібліотеки