Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Шестірки поспіль

ЙмовірністьСкладне

Чесний $6$ -гранний кубик кидають багато разів незалежно. Яке математичне сподівання кількості кидків до першої появи $6$ у $2$ кидках поспіль?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Використайте стани: немає прогресу або останній кидок дав $6$ . Складіть пару лінійних рівнянь для очікуваної кількості кидків, що залишилися.

Розв’язок

Нехай $E 0$ — очікувана кількість кидків, що залишилися, коли останній кидок не був $6$ , а $E 1$ — коли останній кидок був $6$ .
Тоді $E 0 = 1 + (\frac{1}{6}) \times E 1 + (\frac{5}{6}) \times E 0$ , що спрощується до $E 0 = 6 + E 1$ .
Також $E 1 = 1 + (\frac{5}{6}) \times E 0$ , адже $6$ завершує гру, а будь-який інший результат повертає до початку.
Підстановка дає $E 1 = 1 + (\frac{5}{6}) \times (6 + E 1) = 6 + (\frac{5}{6}) \times E 1$ , отже $E 1 = 36$ .
Тоді $E 0 = 6 + 36 = 42$ , і гра починається саме з цього стану, тому відповідь $42$ .

Відповідь: $42$