Трейдери A і B очікують виконання ордерів. У кожному раунді, незалежно від усього іншого, ордер A виконується з імовірністю 1/3, а ордер B — з імовірністю 1/3. Нехай X і Y — номери раундів їхніх перших виконань. Чому дорівнює P(X = Y)?

Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Одночасні перші виконання

ЙмовірністьСкладне

Трейдери A і B очікують виконання ордерів. У кожному раунді, незалежно від усього іншого, ордер A виконується з імовірністю $\frac{1}{3}$ , а ордер B — з імовірністю $\frac{1}{3}$ . Нехай $X$ і $Y$ — номери раундів їхніх перших виконань. Чому дорівнює $P (X = Y)$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Підсумуйте за спільним номером раунду $n$ імовірність того, що обидва перші виконання трапляються в раунді $n$ .

Розв’язок

Для одного трейдера $P (X = n) = (\frac{1}{3}) \times (\frac{2}{3})^{n - 1}$ .
За незалежності $P (X = n and Y = n) = (\frac{1}{9}) \times (\frac{4}{9})^{n - 1}$ .
Сума за $n = 1, 2, 3, \dots$ є геометричним рядом із першим членом $\frac{1}{9}$ і знаменником $\frac{4}{9}$ .
Його сума дорівнює $(\frac{1}{9}) \div (1 - \frac{4}{9}) = (\frac{1}{9}) \div (\frac{5}{9}) = \frac{1}{5}$ .
Отже, $P (X = Y) = \frac{1}{5}$ .

Відповідь: $\frac{1}{5}$

Наступна задача Назад до бібліотеки