Трейдер має 1 фішку й грає раунди. У кожному раунді незалежно кількість фішок зростає на 1 з імовірністю 2/3 і зменшується на 1 з імовірністю 1/3. Гра припиняється, коли кількість досягає 0 або 3. Яка ймовірність, що гра закінчиться на 3? Дайте дріб a/b у нескоротному вигляді.

Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Ціль для стеку фішок

ЙмовірністьСереднє

Трейдер має $1$ фішку й грає раунди. У кожному раунді незалежно кількість фішок зростає на $1$ з імовірністю $\frac{2}{3}$ і зменшується на $1$ з імовірністю $\frac{1}{3}$ . Гра припиняється, коли кількість досягає $0$ або $3$ . Яка ймовірність, що гра закінчиться на $3$ ? Дайте дріб a/b у нескоротному вигляді.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Запишіть імовірність успіху з кількостей $1$ і $2$ одну через одну та розв’яжіть систему.

Розв’язок

Нехай $h 1$ і $h 2$ — ймовірності закінчити на $3$ , починаючи з кількості $1$ і $2$ .
З кількості $1$ програш завершує гру на $0$ , тому $h 1 = (\frac{2}{3}) h 2$ .
З кількості $2$ виграш завершує гру на $3$ , тому $h 2 = \frac{2}{3} + (\frac{1}{3}) h 1$ .
Підстановка дає $h 1 = \frac{4}{9} + (\frac{2}{9}) h 1$ , отже $(\frac{7}{9}) h 1 = \frac{4}{9}$ .
Тому ймовірність дорівнює $\frac{4}{7}$ .

Відповідь: $\frac{4}{7}$

Наступна задача Назад до бібліотеки