Щодня ринок перебуває в одному з режимів: бичачий, ведмежий або бічний. З бичачого: бичачий 1/2, ведмежий 1/4, бічний 1/4. З ведмежого: бичачий 1/4, ведмежий 1/2, бічний 1/4. З бічного: бичачий 1/2, ведмежий 1/2, бічний 0. Усі числа — імовірності на наступний день. Яка довгострокова частка бічних днів? Дайте дріб a/b у нескоротному вигляді.

Навчання / Бібліотека / Ймовірність

$3$ режими в довгостроці

ЙмовірністьСереднє

Щодня ринок перебуває в одному з режимів: бичачий, ведмежий або бічний. З бичачого: бичачий $\frac{1}{2}$ , ведмежий $\frac{1}{4}$ , бічний $\frac{1}{4}$ . З ведмежого: бичачий $\frac{1}{4}$ , ведмежий $\frac{1}{2}$ , бічний $\frac{1}{4}$ . З бічного: бичачий $\frac{1}{2}$ , ведмежий $\frac{1}{2}$ , бічний $0$ . Усі числа — імовірності на наступний день. Яка довгострокова частка бічних днів? Дайте дріб a/b у нескоротному вигляді.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Бичачий і ведмежий режими симетричні щодо переходів один в одного та в бічний, тож шукайте рівні стаціонарні значення.

Розв’язок

Нехай стаціонарні ймовірності: $u$ для бичачого, $v$ для ведмежого, $w$ для бічного.
Рівняння бичачого дає $\frac{u}{2} = \frac{v}{4} + \frac{w}{2}$ , а ведмежого — $\frac{v}{2} = \frac{u}{4} + \frac{w}{2}$ .
Віднімання дає $\frac{u - v}{2} = \frac{v - u}{4}$ , звідки $u = v$ .
Рівняння бічного: $w = \frac{u}{4} + \frac{v}{4} = \frac{u}{2}$ .
Нормування $u + v + w = 1$ дає $2 u + \frac{u}{2} = 1$ , тож $u = \frac{2}{5}$ і $w = \frac{1}{5}$ .

Відповідь: $\frac{1}{5}$

Наступна задача Назад до бібліотеки