Позиція маркет-мейкера — ціле число лотів від 0 до 3. На кожному кроці з 0 вона переходить у 1 з імовірністю 1. З 1 або 2 вона зростає на 1 лот з імовірністю 2/3 і зменшується на 1 лот з імовірністю 1/3. Досягнення 3 зупиняє процес. Починаючи з 0, яке математичне сподівання кількості кроків до 3? Дайте дріб a/b у нескоротному вигляді.

Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Позиція досягає ліміту

ЙмовірністьСкладне

Позиція маркет-мейкера — ціле число лотів від $0$ до $3$ . На кожному кроці з $0$ вона переходить у $1$ з імовірністю $1$ . З $1$ або $2$ вона зростає на $1$ лот з імовірністю $\frac{2}{3}$ і зменшується на $1$ лот з імовірністю $\frac{1}{3}$ . Досягнення $3$ зупиняє процес. Починаючи з $0$ , яке математичне сподівання кількості кроків до $3$ ? Дайте дріб a/b у нескоротному вигляді.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Нехай $d$ — сподівана кількість кроків до першого підйому на один рівень з кожного рівня; додайте ці значення.

Розв’язок

Нехай $h 0, h 1, h 2$ — сподівані кількості кроків до $3$ , причому $h 3 = 0$ , а $d 0 = h 0 - h 1$ , $d 1 = h 1 - h 2$ , $d 2 = h 2$ .
З $0$ : $h 0 = 1 + h 1$ , тож $d 0 = 1$ .
З $1$ : $h 1 = 1 + (\frac{2}{3}) h 2 + (\frac{1}{3}) h 0$ , що перетворюється на $(\frac{2}{3}) d 1 = 1 + (\frac{1}{3}) d 0$ , тож $d 1 = 2$ .
З $2$ : $h 2 = 1 + (\frac{1}{3}) h 1$ , що перетворюється на $(\frac{2}{3}) d 2 = 1 + (\frac{1}{3}) d 1$ , тож $d 2 = \frac{5}{2}$ .
Тоді $h 0 = d 0 + d 1 + d 2 = 1 + 2 + \frac{5}{2}$ , що дорівнює $\frac{11}{2}$ .

Відповідь: $\frac{11}{2}$

Наступна задача Назад до бібліотеки