Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Очікування монетної послідовності

ЙмовірністьСкладне

Несиметрична монета випадає орлом з імовірністю $\frac{1}{3}$ і решкою з імовірністю $\frac{2}{3}$ , підкидання незалежні. Яке математичне сподівання кількості підкидань до першої появи послідовності орел, решка, орел у $3$ підкиданнях поспіль? Дайте дріб a/b у нескоротному вигляді.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Стежте за найдовшим закінченням серії, що збігається з початком послідовності: порожнє, орел або орел і решка.

Розв’язок

Нехай $E 0$ , $E 1$ , $E 2$ — сподівані кількості подальших підкидань, коли збіг порожній, орел або орел і решка.
З порожнього: $E 0 = 1 + (\frac{1}{3}) E 1 + (\frac{2}{3}) E 0$ , тож $E 0 = 3 + E 1$ .
З орла: орел залишає нас там, а решка веде далі, тому $E 1 = 1 + (\frac{1}{3}) E 1 + (\frac{2}{3}) E 2$ , звідки $E 1 = \frac{3}{2} + E 2$ .
З орла і решки: орел завершує, решка скидає, тому $E 2 = 1 + (\frac{2}{3}) E 0$ .
Об’єднання дає $E 0 = 3 + \frac{3}{2} + 1 + (\frac{2}{3}) E 0$ , тож $\frac{E 0}{3} = \frac{11}{2}$ і $E 0 = \frac{33}{2}$ .

Відповідь: $\frac{33}{2}$

Наступна задача Назад до бібліотеки