2 рівні за силою команди грають серію, яка закінчується, щойно одна з команд здобуде 3 перемоги. Кожну гру з імовірністю 1/2 виграє будь-яка з команд, незалежно від інших ігор, нічиїх немає. Яке математичне сподівання кількості зіграних ігор? Дайте дріб a/b у нескоротному вигляді.

Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Тривалість серії до $3$ перемог

ЙмовірністьСкладне

$2$ рівні за силою команди грають серію, яка закінчується, щойно одна з команд здобуде $3$ перемоги. Кожну гру з імовірністю $\frac{1}{2}$ виграє будь-яка з команд, незалежно від інших ігор, нічиїх немає. Яке математичне сподівання кількості зіграних ігор? Дайте дріб a/b у нескоротному вигляді.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Знайдіть ймовірність того, що серія триватиме рівно $3$ , $4$ або $5$ ігор.

Розв’язок

Серія триває $3$ ігри, якщо одна команда виграє всі: ймовірність $2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ .
Серія триває $4$ ігри, якщо переможець бере останню гру й рівно $2$ з перших $3$ : ймовірність $2 \times \frac{( 2 3 )}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ .
Серія триває $5$ ігор з імовірністю $2 \times \frac{( 2 4 )}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ ; сума ймовірностей дорівнює $1$ .
Математичне сподівання тривалості дорівнює $3 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{3}{8} + 5 \times \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{12}{8} + \frac{15}{8}$ .
Це дорівнює $\frac{33}{8}$ .
Відповідь: $\frac{33}{8}$ .

Відповідь: $\frac{33}{8}$

Наступна задача Назад до бібліотеки