Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Коваріація на трикутнику

ЙмовірністьСкладне

$(X, Y)$ рівномірно розподілено на трикутнику $0 < y < x < 1$ . Чому дорівнює $Cov (X, Y)$ ? Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

За умови $X = x$ змінна $Y$ рівномірна на $(0, x)$ . Виразіть усі моменти через $X$ .

Розв’язок

Площа трикутника дорівнює $\frac{1}{2}$ , тож щільність дорівнює $2$ , а маргінальна щільність $f_{X} (x) = 2 x$ . Це дає $E [X] = \frac{2}{3}$ і $E [X^{2}] = \frac{1}{2}$ .
За умови $X = x$ середнє $Y$ дорівнює $\frac{x}{2}$ , тому $E [Y] = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ .
Так само $E [X Y] = \frac{E [ X ^{2} ]}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .
Отже, $Cov (X, Y) = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{36}$ .

Відповідь: $\frac{1}{36}$