Позиція починає з 1. На кожному кроці вона незалежно зростає на 1 із шансом 3/4 і падає на 1 із шансом 1/4, а зупиняється, досягши 0 або 3. Який шанс, що першим вона досягне 3? Дайте нескоротний дріб.

Навчання / Бібліотека / Ймовірність

Бар’єр раніше за розорення

ЙмовірністьСкладне

Позиція починає з $1$ . На кожному кроці вона незалежно зростає на $1$ із шансом $\frac{3}{4}$ і падає на $1$ із шансом $\frac{1}{4}$ , а зупиняється, досягши $0$ або $3$ . Який шанс, що першим вона досягне $3$ ? Дайте нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Запишіть шанс із кожного рівня через рівні на відстані одного кроку.

Розв’язок

Нехай $h_{1}$ і $h_{2}$ це шанси з рівнів $1$ і $2$ . Умова на перший крок дає $h_{1} = \frac{3}{4} \times h_{2}$ і $h_{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \times h_{1}$ .
Підстановка дає $h_{1} = \frac{9}{16} + \frac{3}{16} \times h_{1}$ .
Отже, $h_{1} = \frac{\frac{9}{16}}{\frac{13}{16}} = \frac{9}{13}$ .

Відповідь: $\frac{9}{13}$

Наступна задача Назад до бібліотеки