Навчання / Бібліотека / Статистика

Найкраща область відхилення

СтатистикаСкладне

Монету підкидають $5$ разів незалежно. Перевіряють $H 0 : P (H) = \frac{1}{2}$ проти $H 1 : P (H) = \frac{3}{4}$ . Областю відхилення може бути будь-яка множина з $32$ можливих послідовностей орлів і решок, але ймовірність відхилити за $H 0$ має бути не більшою за $\frac{1}{8}$ . Яка найбільша можлива ймовірність відхилити за $H 1$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Впорядкуйте послідовності за тим, наскільки вони імовірніші за альтернативи.

Розв’язок

За $H 0$ кожна послідовність має ймовірність $\frac{1}{32}$ , тож область містить щонайбільше $4$ послідовності.
За $H 1$ послідовність із $k$ орлами має ймовірність $\frac{3 ^{k}}{1024}$ , тому найкраще брати послідовності з найбільшою кількістю орлів.
Беремо послідовність з $5$ орлами та будь-які $3$ послідовності з $4$ орлами.
Їхня сумарна ймовірність дорівнює $\frac{243 + 3 \times 81}{1024} = \frac{486}{1024}$ , що скорочується до $\frac{243}{512}$ .

Відповідь: $\frac{243}{512}$

Наступна задача Назад до бібліотеки