Спільний розподіл X ∈ {0, 1} і Y ∈ {0, 1, 2} задано так: P(0, 0) = 1/12, P(0, 1) = 1/6, P(0, 2) = 1/12, P(1, 0) = 1/6, P(1, 1) = 1/6 та P(1, 2) = 1/3. Чому дорівнює Cov(X, Y)?

Навчання / Бібліотека / Статистика

Коваріація за таблицею

СтатистикаСереднє

Спільний розподіл $X \in {0, 1}$ і $Y \in {0, 1, 2}$ задано так: $P (0, 0) = \frac{1}{12}$ , $P (0, 1) = \frac{1}{6}$ , $P (0, 2) = \frac{1}{12}$ , $P (1, 0) = \frac{1}{6}$ , $P (1, 1) = \frac{1}{6}$ та $P (1, 2) = \frac{1}{3}$ . Чому дорівнює $Cov (X, Y)$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Спершу знайдіть маргінальні середні, потім середній добуток за клітинками, де обидві величини ненульові.

Розв’язок

Сума за рядком $X = 1$ дає $P (X = 1) = \frac{2}{3}$ , отже $E [X] = \frac{2}{3}$ .
Маргінальні ймовірності $Y$ дорівнюють $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{3}$ та $\frac{5}{12}$ , тож $E [Y] = \frac{1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$ .
До добутку вносить внесок лише $X = 1$ , тому $E [X Y] = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ .
Тоді $Cov (X, Y) = \frac{5}{6} - (\frac{2}{3}) (\frac{7}{6}) = \frac{15}{18} - \frac{14}{18}$ , що дорівнює $\frac{1}{18}$ .

Відповідь: $\frac{1}{18}$

Наступна задача Назад до бібліотеки