Однакові сусіди в ряду

Запишіть S як суму індикаторів і порівняйте коваріації сусідніх та віддалених пар.

1. Кожен індикатор дорівнює $1$ з імовірністю $\frac{4}{9}$, тож його дисперсія дорівнює $\frac{4}{9}\times \frac{5}{9}=\frac{20}{81}$, а $9$ дисперсій у сумі дають $\frac{20}{9}$.
2. Для $8$ пар, що перекриваються, коваріація дорівнює $\frac{1}{6}-\frac{16}{81}=-\frac{5}{162}$, бо $3$ карти поспіль мають однаковий колір з імовірністю $\frac{1}{6}$.
3. Для решти $28$ пар імовірність, що обидві пари однокольорові, дорівнює $\frac{13}{63}$, тож коваріація дорівнює $\frac{13}{63}-\frac{16}{81}=\frac{5}{567}$.
4. Сума коваріацій дорівнює $2\times \left(8\times \left(-\frac{5}{162}\right)+28\times \frac{5}{567}\right)=2\times \left(-\frac{20}{81}+\frac{20}{81}\right)=0$, отже $\mathrm{Var}(S)=\frac{20}{9}$.

Відповідь: $\frac{20}{9}$