Навчання / Бібліотека / Статистика

Модель із обмеженими ймовірностями

СтатистикаСереднє

Випадкова величина набуває значень $1$ , $2$ та $3$ з імовірностями $θ$ , $2 θ$ та $1 - 3 θ$ , де $0 < θ < \frac{1}{3}$ . У $20$ незалежних спостереженнях значення $1$ з’явилося $6$ разів, значення $2$ — $4$ рази, а значення $3$ — $10$ разів. Чому дорівнює оцінка максимальної правдоподібності для $θ$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Перед диференціюванням зберіть степені θ та $1$ − 3θ у правдоподібності.

Розв’язок

Правдоподібність пропорційна $θ^{6} (2 θ)^{4} (1 - 3 θ)^{10}$ , тож логарифм правдоподібності дорівнює $10 ln θ + 10 ln (1 - 3 θ)$ плюс стала.
Його похідна дорівнює $10/ θ - \frac{30}{1 - 3 θ}$ .
Прирівнявши її до нуля, маємо $10 (1 - 3 θ) = 30 θ$ , отже $10 = 60 θ$ .
Оцінка дорівнює $θ = \frac{1}{6}$ .

Відповідь: $\frac{1}{6}$

Наступна задача Назад до бібліотеки