Кожна спроба виконати заявку незалежно вдається з імовірністю p, тож кількість спроб X має розподіл P(X = x) = (1 − p)^(x − 1) × p для x = 1, 2, …. Для 5 заявок знадобилося 2, 5, 1, 4 і 3 спроби. Яка оцінка максимальної правдоподібності для p? Дайте дріб.

Навчання / Бібліотека / Статистика

Спроби до виконання

СтатистикаСереднє

Кожна спроба виконати заявку незалежно вдається з імовірністю $p$ , тож кількість спроб $X$ має розподіл $P (X = x) = (1 - p)^{x - 1} \times p$ для $x = 1, 2, \dots$ . Для $5$ заявок знадобилося $2$ , $5$ , $1$ , $4$ і $3$ спроби. Яка оцінка максимальної правдоподібності для $p$ ? Дайте дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Логарифм правдоподібності рахує $n$ успіхів і $\sum (x_{i} - 1)$ невдач.

Розв’язок

Маємо $5$ успіхів і $2 + 5 + 1 + 4 + 3 = 15$ спроб, тобто $15 - 5 = 10$ невдач.
Нахил $5 log p + 10 log (1 - p)$ дорівнює $\frac{5}{p} - \frac{10}{1 - p}$ і нульовий, коли $5 \times (1 - p) = 10 \times p$ .
Звідси $p^= \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ .

Відповідь: $\frac{1}{3}$

Наступна задача Назад до бібліотеки