Навчання / Бібліотека / Головоломки

Оголошення парності в шерензі

ГоловоломкиЛегке

Наглядач дає кожному з $5$ в’язнів червоний або синій капелюх, і всі $2^{5} = 32$ кольорові комбінації рівноймовірні. В’язні стоять у шерензі обличчям в один бік, і кожен бачить усі капелюхи перед собою, але не свій і не ті, що позаду. Кожен в’язень називає колір за фіксованим правилом: каже «червоний», якщо кількість червоних капелюхів перед ним парна, інакше каже «синій». Для скількох із $32$ комбінацій рівно $3$ з $5$ оголошень правильні?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Фіксуйте капелюхи від початку шеренги назад. Якщо капелюхи перед в’язнем відомі, скільки з $2$ кольорів роблять його оголошення правильним?

Розв’язок

Обирайте капелюхи від першого в’язня назад. Щойно капелюхи перед в’язнем зафіксовані, його оголошення визначене, тож рівно $1$ з його $2$ можливих кольорів робить його правильним.
Тому кожна комбінація дає рівно один розподіл правильних і хибних оголошень, і кожен розподіл для $5$ в’язнів трапляється рівно один раз.
Комбінації з рівно $3$ правильними оголошеннями відповідають вибору того, які $3$ з $5$ в’язнів мають рацію, а це $(3 5)$ варіантів.
Отже, кількість комбінацій дорівнює $10$ .

Відповідь: $10$

Наступна задача Назад до бібліотеки