Навчання / Бібліотека / Головоломки

Капелюхи з числами

ГоловоломкиЛегке

Кожен із $5$ в’язнів, пронумерованих $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , отримує капелюх із цілим числом від $0$ до $5$ , і всі $6^{5} = 7776$ розподілів рівноймовірні. Кожен бачить решту $4$ капелюхи, але не свій. В’язень $i$ вгадує, що його число таке, яке робить суму всіх $5$ чисел на капелюхах такою, що дає остачу $i$ при діленні на $6$ . У скількох із $7776$ розподілів принаймні одне вгадування правильне?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Вгадування правильне рівно тоді, коли справжня сума має певну остачу. За яких остач суми хтось може мати рацію?

Розв’язок

В’язень $i$ має рацію рівно тоді, коли справжня сума $5$ чисел дає остачу $i$ при діленні на $6$ .
Отже, хтось має рацію рівно тоді, коли ця остача належить до $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , тобто коли вона не дорівнює $5$ .
Остачі суми розподілені порівну між $7776$ розподілами, по $1296$ розподілів на кожну з $6$ остач.
Тому кількість розподілів із принаймні одним правильним вгадуванням дорівнює $5 \times 1296 = 6480$ .

Відповідь: $6480$

Наступна задача Назад до бібліотеки