Навчання / Бібліотека / Головоломки

Рідкісніший колір

ГоловоломкиСереднє

Кожен із $6$ в’язнів сидить за круглим столом і отримує червоний або чорний капелюх, усі $2^{6} = 64$ комбінацій рівноймовірні. Кожен бачить решту $5$ капелюхів і вгадує, що його капелюх має колір, який серед побачених $5$ трапляється рідше. Для скількох із $64$ комбінацій усі $6$ вгадувань правильні? (Коли видно $5$ капелюхів, нічиїх немає.)

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Порівняйте, що бачить в’язень, коли капелюхи розподілені порівну, і що — коли ні.

Розв’язок

Нехай у комбінації $k$ червоних капелюхів. Червоний в’язень бачить $k - 1$ червоних і $6 - k$ чорних, тож він вгадує червоний рівно тоді, коли $k - 1 < 6 - k$ , тобто коли $k \leq 3$ .
Чорний в’язень бачить $k$ червоних і $5 - k$ чорних, і вгадує чорний рівно тоді, коли $5 - k < k$ , тобто коли $k \geq 3$ .
Якщо $k < 3$ , існує чорний в’язень і він помиляється, а якщо $k > 3$ , існує червоний в’язень і він помиляється, тож усі мають рацію лише за $k = 3$ .
Кількість комбінацій із $3$ червоними капелюхами серед $6$ дорівнює $(3 6) = 20$ .

Відповідь: $20$

Наступна задача Назад до бібліотеки