Навчання / Бібліотека / Головоломки

Різні числа на капелюхах

ГоловоломкиСереднє

Числа $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ написані на $6$ картках. $5$ в’язнів, пронумерованих від $1$ до $5$ , тягнуть по одній картці без повернення й одягають її як капелюх; кожен упорядкований розклад $5$ карток однаково ймовірний, усього $720$ . Кожен бачить решту $4$ капелюхи, тож його число — одне з $2$ чисел, яких він не бачить. В’язень з непарним номером вгадує більше з цих $2$ чисел, а з парним — менше. У скількох із $720$ розкладів принаймні $4$ з $5$ вгадувань правильні?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Нехай $u$ — картка, яку ніхто не носить. Кожен в’язень обирає між своєю карткою та $u$ .

Розв’язок

Нехай $u$ — картка, яку ніхто не носить. Кожен в’язень має $2$ кандидати: його картка та $u$ , тож непарний в’язень має рацію рівно тоді, коли його картка більша за $u$ , а парний — коли менша за $u$ .
Якщо $u = 1$ , $u = 5$ або $u = 6$ , кількість правильних вгадувань не перевищує відповідно $3$ , $3$ і $2$ , тож жоден розклад не досягає $4$ .
Для $u = 2$ більші картки — $3$ , $4$ , $5$ , $6$ : усі $3$ непарні в’язні мають носити більші картки, а рівно $1$ із $2$ парних носить єдину меншу картку $1$ , що дає $2 \times 4! = 48$ розкладів із $4$ правильними вгадуваннями.
Для $u = 3$ усі $5$ вгадувань правильні, коли непарні в’язні беруть $4$ , $5$ , $6$ , а парні беруть $1$ , $2$ , що дає $3! \times 2! = 12$ розкладів; для $u = 4$ рівно $4$ правильні, коли один із $3$ непарних в’язнів носить меншу картку, що дає $3 \times 2! \times 3! = 36$ розкладів.
Додавши $3$ випадки, отримуємо $48 + 12 + 36 = 96$ .

Відповідь: $96$

Наступна задача Назад до бібліотеки