Навчання / Бібліотека / Головоломки

Вгадувати лише впевнено

ГоловоломкиСкладне

Кожен із $6$ в’язнів отримує червоний або синій капелюх, усі $2^{6} = 64$ комбінацій можливі. Кожен бачить решту $5$ капелюхів, але не свій. Водночас, не спілкуючись, кожен діє так: якщо бачить щонайменше $4$ червоних капелюхи, вгадує синій; якщо бачить щонайменше $4$ сині, вгадує червоний; інакше пасує. В’язнів звільняють, якщо хоча б один вгадує і кожне зроблене вгадування правильне. Для скількох із $64$ комбінацій їх звільняють?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Рахуйте за кількістю червоних капелюхів у всій комбінації й перевірте, що бачать червоний і синій в’язні.

Розв’язок

Нехай у комбінації $k$ червоних капелюхів. Червоний в’язень бачить $k - 1$ червоних, а синій бачить $k$ червоних, і за правилом: на $4$ або більше червоних вгадувати синій, на $1$ або менше червоних вгадувати червоний.
За $k = 0$ і $k = 1$ синій в’язень вгадує червоний і помиляється, а за $k = 5$ і $k = 6$ червоний в’язень вгадує синій і помиляється.
За $k = 3$ кожен в’язень бачить $2$ або $3$ червоних капелюхи й пасує, тож ніхто не вгадує, і їх не звільняють.
За $k = 2$ червоні в’язні бачать $1$ червоний капелюх і правильно вгадують червоний, а сині пасують; за $k = 4$ сині в’язні бачать $4$ червоних капелюхи й правильно вгадують синій, а червоні пасують.
Звільнених комбінацій $(2 6) + (4 6) = 30$ .

Відповідь: $30$

Наступна задача Назад до бібліотеки