Навчання / Бібліотека / Головоломки

Прямі кути на цілих хвилинах

ГоловоломкиЛегке

Аналоговий годинник має стрілки, що рухаються неперервно: годинна стрілка повертається на $0, 5$ градуса за хвилину, а хвилинна — на $6$ градусів за хвилину, і обидві дивляться прямо вгору о $0 : 00$ . Розгляньте $1440$ моментів із цілою кількістю хвилин від $0 : 00$ до $23 : 59$ за одну добу. У скількох із них стрілки утворюють кут рівно $90$ градусів?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Запишіть кут між стрілками після $m$ хвилин як $5, 5 m$ градусів за модулем $360$ і знайдіть цілі $m$ , що дають $90$ або $270$ .

Розв’язок

Після $m$ хвилин хвилинна стрілка випереджає годинну на $5, 5 m$ градусів за модулем $360$ , тож прямий кут вимагає, щоб $5, 5 m$ дорівнювало $90$ або $270$ за модулем $360$ .
Множення на $2$ перетворює це на умову, що $11 m$ дорівнює $180$ або $540$ за модулем $720$ .
Оскільки $11$ і $720$ не мають спільних дільників, кожна з умов має рівно один розв’язок $m$ на проміжку $12$ годин, а саме $540$ і $180$ хвилин, тобто $9 : 00$ і $3 : 00$ .
Доба містить $2$ такі проміжки, тож кількість дорівнює $2 \times 2 = 4$ .

Відповідь: $4$

Наступна задача Назад до бібліотеки