Навчання / Бібліотека / Головоломки

Хвіст величезного степеня

ГоловоломкиСереднє

Якими є $2$ останні цифри числа $1 7^{123456}$ , записані як число від $0$ до $99$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Послідовно підносьте до квадрата за модулем $100$ і шукайте показник, за якого степінь повертається до $1$ .

Розв’язок

За модулем $100$ маємо $1 7^{2} = 289 \equiv 89$ , $1 7^{4} \equiv 8 9^{2} = 7921 \equiv 21$ , $1 7^{8} \equiv 2 1^{2} = 441 \equiv 41$ і $1 7^{16} \equiv 4 1^{2} = 1681 \equiv 81$ .
Тоді $1 7^{20} = 1 7^{16} \times 1 7^{4} \equiv 81 \times 21 = 1701 \equiv 1$ , тож степені $17$ повторюються з періодом, що ділить $20$ .
Оскільки $123456 = 20 \times 6172 + 16$ , маємо $1 7^{123456} \equiv 1 7^{16}$ за модулем $100$ .
$2$ останні цифри — $81$ .

Відповідь: $81$