Навчання / Бібліотека / Головоломки

Паліндроми й одинадцятки

ГоловоломкиСереднє

Паліндром однаково читається зліва направо й справа наліво. Скільки паліндромів із $5$ цифр без початкового нуля, як-от $70407$ , діляться на $11$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Запишіть паліндром як $abcba$ і зведіть його значення за модулем $11$ до умови на $a$ , $b$ і $c$ .

Розв’язок

Паліндром $abcba$ дорівнює $10001 a + 1010 b + 100 c$ , а за модулем $11$ це $2 a + 9 b + c$ .
Для кожного з $9 \times 10 = 90$ виборів цифр $a$ і $b$ рівно одна остача $c$ за модулем $11$ робить суму $0$ , і вона годиться як цифра, якщо не дорівнює $10$ .
Остача $10$ потребує $2 a + 9 b \equiv 1$ , тобто $b \equiv 5 (1 - 2 a)$ за модулем $11$ ; для $a = 5$ це дає $b = 10$ , що не є цифрою, а кожне з решти $8$ значень $a$ дає рівно одну цифру $b$ .
Отже, $8$ пар непридатні, і кількість дорівнює $90 - 8 = 82$ .

Відповідь: $82$