Лише нулі та одиниці

Кратність $63$ означає кратність і $9$, і $7$. Що кратність $9$ каже про потрібну кількість одиниць?

1. Кратне $9$ число має суму цифр, що ділиться на $9$, тож потрібно щонайменше $9$ одиниць, а найменший кандидат із рівно $9$ одиницями без нулів — $111111111$.
2. Це число дає остачу $6$ за модулем $7$, тож не підходить, а будь-яке інше число з менш ніж $10$ цифр потребує $9$ одиниць і збігається з ним.
3. Для $10$ цифр і рівно $9$ одиниць єдиний нуль може стояти на позиціях $2$, $3$, $4$, $5$ і далі, а кандидати в порядку зростання $1011111111$, $1101111111$, $1110111111$, $1111011111$ дають остачі $3$, $2$, $4$, $0$ за модулем $7$.
4. Отже, перший кандидат, що ділиться на $7$, є найменшим кратним $63$ такого виду, і це $1111011111$.

Відповідь: $1111011111$