Навчання / Бібліотека / Головоломки

Рідкісна кількість перемикань

ГоловоломкиСереднє

$100$ шафок із номерами від $1$ до $100$ спочатку зачинені. Для кожного $k$ від $1$ до $100$ людина $k$ перемикає кожну шафку, номер якої кратний $k$ . Скільки шафок загалом перемкнули рівно $3$ рази?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Які числа мають рівно $3$ дільники?

Розв’язок

Шафку $n$ перемикають один раз на кожен дільник $n$ , тож потрібні числа з рівно $3$ дільниками.
Непарна кількість дільників означає, що $n$ квадрат, а $3$ дільники означають $n = p^{2}$ для простого $p$ , з дільниками $1$ , $p$ і $p^{2}$ .
За умови $p^{2} \leq 100$ простими є $2$ , $3$ , $5$ і $7$ , що дає $4$ , $9$ , $25$ і $49$ .
Отже, таких шафок $4$ .

Відповідь: $4$

Наступна задача Назад до бібліотеки