Навчання / Бібліотека / Головоломки

Нічний портьє

ГоловоломкиСереднє

На поверсі готелю $120$ дверей із номерами від $1$ до $120$ , усі замкнені. У ніч $k$ , для $k$ від $1$ до $120$ , портьє повертає ключ у кожних дверях, номер яких кратний $k$ : замикає незамкнені й відмикає замкнені. Яка сума номерів незамкнених дверей після ночі $120$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Спершу з’ясуйте, які двері лишаться незамкненими, а потім додайте їхні номери.

Розв’язок

Ключ у дверях $n$ повертають один раз для кожного дільника $n$ , тож вони лишаються незамкненими тоді й лише тоді, коли $n$ має непарну кількість дільників.
Дільники утворюють пари $d$ і $\frac{n}{d}$ , крім випадку $d^{2} = n$ , тож незамкненими лишаються двері, номери яких є повними квадратами.
Квадрати до $120$ це від $1^{2}$ до $1 0^{2}$ , бо $1 1^{2} = 121$ .
Їхня сума $10 \times 11 \times \frac{21}{6} = 385$ , тож відповідь $385$ .

Відповідь: $385$

Наступна задача Назад до бібліотеки