Баєс у формі шансів

Ідея: Ведіть поточний рахунок

Шанси перетворюють кожне нове свідчення на $1$ множення замість нового натовпу.

• Апріорні шанси беруться з кількостей
• Переводьте в імовірність лише наприкінці

Формула: Правило Байєса через шанси

$O(H\mid E)=O(H)\times LR$

Апостеріорні шанси це апріорні шанси, помножені на відношення правдоподібностей.

Формула: Відношення правдоподібностей

$LR=\frac{P(E\mid H)}{P(E\mid \neg H)}$

Понад 1 підтримує H, менше за 1 свідчить проти H, а рівно 1 нічого не каже.

Приклад: 3 орли з мішка монет

$7$ чесних монет і $1$ з орлами на обох боках. Беріть одну й киньте: орел $3$ рази. Шанс особливої монети?

1. Апріорні шанси $\frac{1}{7}$; кожен орел має відношення $\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
2. Після $3$ орлів: $\frac{1}{7}\times 2^3=\frac{8}{7}$
3. Імовірність: $\frac{8}{8+7}=\frac{8}{15}$

Типова помилка: Множити ймовірності

$\frac{1}{8}\times 2^3=1$ зробило б монету певною після $3$ орлів.

Натомість Множте шанси, переводьте наприкінці: шанси $a$ проти $b$ дають $\frac{a}{a+b}$.

Ідея: Кілька свідчень

Незалежні свідчення множаться в будь-якому порядку, за умови H і за умови ¬H.

• Увімкнено: $\frac{0,9}{0,3}=3$; вимкнено: $\frac{0,1}{0,7}=\frac{1}{7}$
• Апріорно $\frac{1}{2}$, один увімк., один вимк.: $\frac{1}{2}\times 3\times \frac{1}{7}=\frac{3}{14}$
• Сигнали з тих самих даних це одне свідчення

Швидка перевірка: Наступний кидок

Після тих $3$ орлів яка ймовірність, що наступний кидок дасть орла?

Ідея: Сильні свідчення швидко накопичуються

Повторені відношення перемножуються.

• $1$ особлива монета серед $1000$: апріорні шанси $\frac{1}{999}$
• $10$ орлів: $\frac{2^{10}}{999}=\frac{1024}{999}$, трохи понад рівні
• Апріорна близько $1$ до $2^n$ потребує приблизно n орлів

Ідея: Проговорюйте вголос

Назвіть апріорні шанси, відношення кожного свідчення і ведіть добуток уголос.

• Скажіть, яку незалежність припускаєте
• Переводьте в імовірність лише наприкінці