Упорядкований вибір

Ідея: Рахуйте рішення крок за кроком

Розбийте наслідок на кроки, порахуйте варіанти на кожному й перемножте.

• Варіанти можуть змінюватися, але їх кількість має бути сталою
• Крок з обмеженням робіть першим

Приклад: 3 завдання, 9 аналітиків

$9$ аналітиків, $3$ різні завдання, кожен бере не більше одного. Скільки розкладів?

1. Перше завдання: $9$ варіантів, далі $8$, далі $7$
2. Розкладів: $9\times 8\times 7=504$

Ідея: З повтореннями

Якщо одна людина може мати кілька завдань, кожен крок знову має всі варіанти.

• $9\times 9\times 9=9^3=729$
• Без повторень: $504$

Формула: k з n за порядком

$P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$

Упорядкуйте k з n різних людей. Усі n дають n! порядків, а 0! = 1.

Приклад: Код без нуля на початку

Скільки кодів із $4$ різних цифр мають першу цифру, відмінну від нуля?

1. Спершу перша цифра: $9$ варіантів
2. Далі $9$, $8$, $7$: нуль повернувся, використані цифри вибули
3. Разом: $9\times 9\times 8\times 7=4536$

Формула: Склейте блок

$(n-m+1)!\times m!$

Блок із m людей, що сидять разом, серед n: упорядкуйте одиниці, потім середину блоку.

Типова помилка: Забута середина блоку

$3$ трейдери склеєні в ряду з $7$: лише $5!=120$ губить порядок усередині блоку.

Натомість Помножте на $3!=6$: $120\times 6=720$. Блок із $3$ прибирає лише $2$ одиниці.

Швидка перевірка: Пара поруч

$5$ людей сідають у ряд. У скількох порядках $A$ і $B$ сидять поруч?

Ідея: Проговорюйте на співбесіді

Назвіть кроки до множення і чому кожна кількість не залежить від попередніх виборів.

• Скажіть, що обмеження берете першим
• Завершіть крихітним випадком, який можна перелічити