Повтори, фішки й перегородки

Ідея: Позначте копії, потім забудьте позначки

Зробіть повторені літери різними, порахуйте, поділіть на порядки копій.

• $\text{PEPPER}$: $6!=720$ позначених порядків
• Кожне слово походить із $3!\times 2!=12$ з них
• Слів: $\frac{720}{12}=60$

Формула: Слова з повтореннями

$\frac{n!}{a!\times b!\times c!\times \dots }$

n літер, що повторюються a, b, c разів. Літера без повторів дає 1! = 1.

Приклад: Літери $\text{LEVEL}$

Скільки різних рядків можна скласти з усіх літер $\text{LEVEL}$?

1. $5$ літер: $L$ та $E$ по двічі
2. Рядків: $\frac{5!}{2!\times 2!}=30$

Формула: Фішки й розділювачі

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+b-1}{b-1}\right)$

n однакових предметів у b різних коробках, порожні дозволені: оберіть місця b − 1 розділювачів.

Приклад: 8 фішок, 3 коробки

Покладіть $8$ однакових фішок у $3$ різні коробки; коробка може бути порожньою. Скільки способів?

1. Картинка: $8$ зірочок і $2$ розділювачі, $10$ символів
2. Оберіть розділювачі: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$

Ідея: Мінімуми спершу

Якщо кожна коробка має отримати щонайменше $1$ фішку, роздайте їх одразу.

• Лишається $8-3=5$ фішок без обмежень
• Кількість: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=21$
• Для максимуму потрібні включення й виключення

Типова помилка: Не той тип предметів

Розділювачі потребують однакових предметів і різних коробок.

Натомість Різні фішки дають $3^8=6561$. І $3$ коробкам потрібні $2$ розділювачі, а не $3$.

Швидка перевірка: 6 фішок, 4 коробки

Скількома способами $6$ однакових фішок можна розкласти в $4$ різні коробки, порожні дозволені?

Ідея: Перед формулою

Скажіть, що однакове, що різне і чи можуть коробки бути порожніми.

• Ці слова обирають метод
• Для слова скажіть, на що ділите