Бутстреп

Ідея: Похибка без формули

Бутстреп вважає вибірку генеральною сукупністю й бере вибірки з неї.

• Працює для медіан, коефіцієнтів Шарпа, квантилів
• Для $30$ скошених виконань підручникової формули немає

Ідея: Рецепт

Візьміть $n$ точок із поверненням, обчисліть $T$, повторіть $B$ разів.

• Деякі точки повторюються, деякі випадають
• Розкид $T_1$, …, $T_B$ оцінює стандартну похибку
• Беріть $B$ у тисячах

Приклад: Усі перевибірки вручну

Дані $2$, $4$, $9$. Яка бутстреп-дисперсія вибіркового середнього?

1. Середнє $5$, квадрати відхилень $9+1+16=26$
2. Дисперсія даних: $\frac{26}{3}$
3. Середнє $3$ вибірок: $\frac{\frac{26}{3}}{3}=\frac{26}{9}$

Формула: Що пропускає перевибірка

$P(\text{point}\text{left}\text{out})={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$

Прямує до 1/e ≈ 0.37, тож перевибірка містить близько 63% різних точок.

Швидка перевірка: Пропущена точка

Для $n=5$ яка ймовірність, що певна точка не потрапить у перевибірку?

Типова помилка: Бутстреп максимуму

Максимум перевибірки дорівнює максимуму вибірки приблизно в $63\%$ випадків. Значень поза вибіркою не буває.

Натомість Застосовуйте до середніх, медіан та інших статистик, що плавно залежать від даних.

Ідея: Коли важить порядок

Звичайна перевибірка розбиває серії добрих і поганих днів.

• Дохідності $3$, $5$, $-4$, $-2$, $1$, $3$: звичайна дає $6\times \frac{58}{6}=58$
• Блоки по $2$ тримають сусідів разом
• Довжина блоку: втримати залежність і лишити багато блоків

Приклад: Блоковий бутстреп

Дохідності по порядку: $3$, $5$, $-4$, $-2$, $1$, $3$. Перевибирайте $3$ блоки по $2$. Яка дисперсія суми?

1. Суми блоків $8$, $-6$, $4$, середнє $2$
2. Квадрати відхилень: $36+64+4=104$
3. Сума $3$ блоків: $3\times \frac{104}{3}=104$

Типова помилка: Довіряти спокійній вибірці

Якщо всі $30$ виконань зі спокійного тижня, кожна перевибірка спокійна, а інтервал здається вузьким.

Натомість Бутстреп міряє розкид оцінки. Поганої вибірки він не виправляє.