Монте-Карло

Ідея: Ціна без формули

Монте-Карло: запишіть ціну як $E[f(X)]$, змоделюйте багато майбутніх, усередніть виплати.

• Потрібні лише вибірки й виплата, без густини
• Сітка з $10$ точок на $6$ чинників: $10^6=1000000$ клітинок
• Похибка залежить від кількості шляхів, а не чинників

Формула: Оцінка

$\hat{\theta }=\frac{f(X_1)+\cdots +f(X_n)}{n}$

Вибіркове середнє змодельованих виплат прямує до істини, коли n росте.

Приклад: Короткий прогін вручну

Кол зі страйком $100$. Змодельовані кінцеві ціни: $92$, $104$, $117$, $99$, $108$. Яка оцінка?

1. Виплати: $0$, $4$, $17$, $0$, $8$
2. Сума: $0+4+17+0+8=29$
3. Оцінка: $\frac{29}{5}=5,8$

Формула: Стандартна похибка

$\mathrm{SE}=\sigma /\sqrt{n}$

Беріть вибіркове s замість σ і подавайте ціну з приблизно 2 стандартними похибками в обидва боки.

Швидка перевірка: Розмір похибки

Змодельовані виплати мають $s=12$ на $n=900$ шляхах. Яка стандартна похибка?

Типова помилка: Чекати, що похибка спадає як n

Похибка спадає як $\sqrt{n}$, а не як $n$. Подвоєння шляхів її не зменшує вдвічі.

Натомість Зменшити похибку в $5$ разів коштує $5^2=25$ разів більше шляхів: $400\times 25=10000$.

Ідея: Імовірність теж середнє

Усередніть індикатор: частка шляхів, на яких подія сталася.

• Дисперсія на шлях: $p(1-p)$
• Рідкісна $p=0,0001$ на $10000$ шляхах: $10000\times 0,0001=1$ влучання
• Похибка така ж велика, як сама $p$: звичайний прогін голодує

Швидка перевірка: Похибка ймовірності

Подія має $p=0,2$. Яка стандартна похибка її оцінки за $10000$ шляхів?

Ідея: Проговорюйте вголос

Назвіть оцінку, потім її похибку: середня виплата зі стандартною похибкою $\frac{s}{\sqrt{n}}$.

• Точність коштує квадрата бажаного множника
• Кожна нова цифра: $10^2=100$ разів більше обчислень