Спряжені апріорні розподіли

Ідея: Пара чисел замість кривої

Зі спряженим апріорним розподілом апостеріорний лишається в тій самій родині, і оновлення змінює лише пару чисел.

• Не треба зберігати й нормувати криву
• Порядок не важливий: просто додавайте далі

Формула: Бета і біноміальний

$\mathrm{Beta}(a,b)\to \mathrm{Beta}(a+x,b+n-x)$

Після x виконань із n заявок. a і b це виконання й промахи, ніби вже побачені.

Приклад: Оновлення частки виконань

Апріорний $\mathrm{Beta}(4,6)$, вагою $10$ заявок. Потім виконуються $12$ із $20$ заявок. Яке апостеріорне середнє?

1. Апостеріорний $\mathrm{Beta}(16,14)$
2. Середнє $\frac{16}{30}=\frac{8}{15}$

Ідея: Зважене середнє

Апостеріорне середнє усереднює сиру частку й апріорне середнє; дані важать $\frac{n}{n+a+b}$.

• Тут $\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$
• Перевірка: $\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{8}{15}$

Типова помилка: Однакове середнє, однаковий розподіл

$\mathrm{Beta}(3,7)$ і $\mathrm{Beta}(30,70)$ мають середнє $\frac{3}{10}$, але дані зсувають їх дуже по-різному.

Натомість Після $5$ виконань із $10$: $\frac{3+5}{10+10}=\frac{2}{5}$, але $\frac{30+5}{100+10}=\frac{7}{22}$. Називайте $a+b$.

Формула: Гамма і Пуассон

$\mathrm{Gamma}(a,b)\to \mathrm{Gamma}(a+s,b+t)$

Після s подій за t днів: a умовних подій за b умовних днів, середнє (a + s)/(b + t).

Швидка перевірка: Частота розривів

Апріорний $\mathrm{Gamma}(3,2)$ для денних розривів. За $5$ днів ви нарахували $11$. Яке апостеріорне середнє?

Формула: Нормальний і нормальний: точності додаються

$\frac{1}{V}=\frac{1}{v}+\frac{n}{{\sigma }^2}$

Точність це 1, поділена на дисперсію. Апостеріорне середнє усереднює m і x̄ з вагами їхніх точностей.

Приклад: Нормальне оновлення

Апріорний $N(1,6)$ для середнього, ${\sigma }^2=12$, $n=4$, $\bar{x}=7$. Знайдіть апостеріорне середнє.

1. Точність $\frac{1}{6}+\frac{4}{12}=\frac{1}{2}$, тож $V=2$
2. Середнє $2\times \left(\frac{1}{6}\times 1+\frac{4}{12}\times 7\right)=5$

Ідея: Коли ними не користуватися

Чесний апріорний із $2$ горбами чи важкі хвости не вписуються в жодну зручну родину: беріть сітку або семплер.

• Спряжена модель усе одно перевіряє важкий метод